浅谈行列式的计算方法

　　摘 要：行列式的计算方法很多，高阶的行列式的计算难度较大。为了让学生更好的掌握行列式的计算，本文在此对其计算方法进行总结，通过实例，给出较全面的分析。
　　关键词：行列式；对角线法则；三角形行列式；特殊行列式
　　在求解线性方程组和逆矩阵时，计算行列式是很有必要的。那么如何较好的计算行列式呢？笔者根据自己经验，首先要觀察其结构，然后根据其结构选用相应的计算方法计算。
　　一、行列式的定义
　　我们现在来给出n阶行列式的定义。我们这里总是取一固定的数域P为基础，所谈到的数（或元素）都是指这个数域P中的数。同时根据需求给出一些概念，比如三角形行列式、代数余子式等。
　　定义1：设有n2个数，排成n行n列的数表，位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号[-1t]得到形如[-1ta1j1a2j2….anjn]的项，其中j1，j2，…，jn为自然数1，2，…，n的一个排列，t为这个排列的逆序数。这样的排列共有n！项，所有这样的项的代数和[-1ta1j1a2j2….anjn]，称为n阶行列式。记作：
　　[D=a11a12…a1na21a22…a2n????an1an2…ann]。
　　定义2：将行列式中非零元连线，其形状像个“爪”字的行列式，称为爪型行列式。形如：[a11a12a13a14a21a2200a310a330a4100a44]。
　　定义3：将行列式中非零元的连线，其形状像个“么”字的行列式，称为么型行列式。形如[00a13a140a22a230a31a3200a41a42a43a44]。
　　定义4：n阶行列式中去掉元素[aij]所在行与列后，由剩下的所有元素按原来的位置组成的行列式称为元素[aij]的余子式，记为[Mij].而[Aij=-1i+jMij]称为元素[aij]的代数余子式。
　　二、行列式的计算
　　1.对角线法则
　　行列式的计算千变万化，一般来说，对于2阶和3阶行列式可以采用对角线法则进行计算。
　　例1：计算行列式[D3=2011-4-1-183]。
　　解：D3=2×（-4）×3+0×（-1）×（-1）+1×1×8-1×（-4）×（-1）-0×1×3-2×（-1）×8=-4。
　　2.n阶行列式定义式递归法
　　对于4阶及其以上的行列式，对角线法则不再适用。那么有什么其它的解决方法没有呢？答案是肯定的，比如我们可以将行列式按第一行展开来计算。
　　例2：计算行列式[Dn=a110…0a21a22…0????an1an2…ann]。
　　解：
　　3.降阶法
　　通过分析及上例我们不难发现，一般情况下，如果行列式的阶数较大时，按这种递归方法来计算，计算量是很大的。但如果行列式的第一行有零元，那么我们就不用计算该零元相对应的代数余子式，这就在一定程度简化了计算。既然如此，我们能不能尽量的简化计算，换言之就是让某一行出现尽可能多的零元呢？答案是肯定的。通常情况下，我们可以利用行列式的性质：将行列式某一行（列）的常数倍加到另外一行（列）上，行列式值不变，来将行列式中非零元转化为零元。也就是说给出一个行列式，我们总可以将其某一行（列）化出尽可能多的零元，然后再利用行列式的性质将该行列式按该行展开，从而将高阶的行列式转化为低阶的行列式来计算。该方法称为降阶法。
　　例3：计算行列式：[D4=1201135001561234]。
　　解：
　　4.化三角形法
　　结合例2，我们不难发现三角形行列式有一个重要的结论，就是其值等于主对角线上元素的乘积。那么给出一个行列式，我们可以利用行列式的性质将其化为三角形行列式，然后按照三角形行列式结构给出其解，这种方法称为化三角形法。对于例3我们按照化三角形法求解：
　　三、特殊行列式的计算
　　1.爪型行列式的计算
　　通常情况下，我们用爪型行列式非零元所连的斜线上的元素将竖线或横线上除了第一个元素外的元素转化为零元，然后根据三角形行列式的结构给出其值。
　　例4：计算：[Dn=123…n220…0303…0?????n00…n]。
　　解：
　　2.么字行列式的计算
　　利用“么”字的一撇消去另一撇，就可以把行列式化为三角形行列式，下面我们结合例5来说明。
　　例5：计算[D4=0011021011001223]。
　　解：
　　参考文献
　　[1]唐晓文，王昆仑，陈翠.线性代数[M].同济大学出版社，2012.
　　[2]杨万才.线性代数[M].科学出版社，2013.
　　[3]杨芳.浅析行列式的计算方法[J].南昌教育学院学报，2011，26（01）.
　　[4]王玉华.浅谈行列式的计算[J].临沧师范高等专科学校学报，2008，17（2）.
　　作者简介
　　贾会芳（1989—），女，河南平顶山人，理学硕士，长期从事线性代数的教学工作，研究方向：非线性动力学。