浅谈数学学习过程中的思维定势

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  摘要:在数学学习过程中产生的思维定势,一方面对数学学习有积极作用;另一方面也有消极作用。但不能简单地把思维定势同创新意识对立起来,两者是“立”与“破”的关系。
  关键词:思维定势;创新意识;主动建构;双基
  中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2016)12-0106
  在数学学习中,思维定势表现为一种思维的趋向性,即总是按某种习惯的思路考虑问题。学生倘能将已获得的知识、方法和技能,运用合理的类比、想象和推理,正确地迁移到新知识的学习中,则思维定势在这时所发挥的影响是积极的;当这种习惯的思路与实际问题的解决途径相悖或不完全一致时,往往形成负迁移,这时或者酿成解决问题的错误,或者使思路局限于某种固定的框架之中,久久不能解脱,这种影响是消极的。
  一、思维定势的积极作用
  思维定势的积极作用表现为在帮助思维者确定思考方向上,起着直觉定向作用。也就是说,依靠思维定势的趋向性,思维者能迅速地将所面临的问题归结为熟悉的情境,表现为思维空间的收缩,找到解决问题的途径,从而使问题获得解决。
  在学习数学的过程中,将所积累的知识经过加工,对数学问题进行化归,会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——思维定势模式,将其有意识地记忆下来,并做有目的地简单编码。当遇到新问题时,我们可以辨认它属于哪一类基本模式,联想其一个已经解决的问题,以此为索引,在记忆贮存中提取相应的方法加以解决,这是发挥思维定势作用的一个解题策略。
  在数学教学过程中,数学概念是基础知识的核心,也是组成数学知识体系的重要元素。在教学中要教会学生分清概念的内涵、外延及概念之间的联系,要返璞归真,揭示数学概念的形成过程,让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表达和符号化的运用等多方面主动建构教育原理,才能深刻理解数学概念,产生思维定势;所传授的定理、公式、法则,只有让学生熟练掌握,也才能容易产生思维定势,所以教师可结合例题、习题教学,让学生动脑、动口、动笔,领会定理、法则的适用范围,明确应用时的注意事项,把握应用定理、法则所要解决问题的基本类型,要重视公式的意义,掌握公式的推导,要阐明公式的由来,指导学生对公式进行变形和逆用,要根据公式的外形和特点,指导学生记忆公式。
  二、思维定势的消极作用
  思维定势的消极作用表现为先前形成的知识、经验、习惯,都会使人们形成认知的固定倾向,从而影响后来的分析、判断,即思维总是摆脱不了已有“框架”的束缚,不愿也不会转个方向、换个角度想问题。在中学数学中,学生由思维定势的消极作用造成的解题错误,大致有以下表现:
  表现一:由原有的解题思路或经验产生的思维定势,引起错觉而造成的错误。
  案例1. 有命题①垂直于同一直线互相平行;②平行于同一平面的两条直线互相平行;③垂直于同一平面的两平面互相平行;④与同一直线成等角的两平面互相平行。其中真命题的个数为:
  (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4
  错解:在学生作业中,出现多种解答。甚至有同学选(E)。
  分析:初学立几的同学,受平几思维定势的影响,思考问题往往带有片面性,认为命题①正确的同学实际仍局限在平面中分析问题。对命题②③④不少同学不认真思考,凭经验判断,形成错觉。事实上,仔细分析不难发现四个问题都为假,应为(A)。
  表现二:由多次运用某种公式或法则产生的思维定势、墨守成规造成解题错误。
  案例2. m,x∈C,若x关于的方程(4+3i)x2+mx+(4-3i)=0有实数根,求m的最小值。
  错解:∵方程有实根,∴Δ≥0
  即Δ=m2-4(4+3i)(4-3i)=m2-100≥0
  ∴m≥10,m的最小值為10。
  分析:一元二次方程的判别式是判断实系数方程有无实根的重要式子。在求函数的值域,证明不等式,判断直线与圆锥曲线的位置关系等方面都有广泛的应用。但随着数集的扩充,在复系数方程中,它就失去了功能。研究对象变化了,学生仍有旧法则解题,导致了错误的结果。这里Δ法的思维定势起了明显的消极作用。正解为:设实根为x0。
  ∴(4+3i)x02+mx0+(4-3i)=0从而m=(-4x0-■)+(-3x0-■)i
  所以m=■=■≥■=8
  故m的最小值为8。
  表现三:由习惯的、常用的解题方法或模式产生的思维定势、生搬硬套而造成解题错误。
  案例3. 设虚数α,β为实系数二次方程x2+x+p=0的两根,且α-β=3,那么的p值为:
  (A)-2 (B)-■ (C)■ (D)
  错解:由韦达定α+β=-1,αβ=p,∴α-β=■=■=3
  即■=3,解之:p=-2,选(A)
  分析:利用韦达定理求α-β是常用的解题技巧,这种模式用在直线与圆锥曲线截得弦长问题时,可大大优化解题过程,一般学生都能熟练掌握。但由此而形成的思维定势在本题中起了消极作用。如过不仔细分析,还很难发现问题的症结所在。事实上等式α-β=■在实数集中是显然的。当然α,β为虚数时等式就不一定成立。正解是:a=a+bi,则β=a-bi,由α-β=3,∴b=■,α+β=2a=-1,a=■,∴p=αβ=a2+b2=■选(C)。
  以上三例说明思维定势的消极因素是个陷阱,学生在解题过程中会不自觉地落入其中,排除由思维定势带来的心理障碍,引导学生正确解题是我们必须重视的问题。
  美国心理学家吉尔福特认为,创造性思维具有(上接第106页)流畅性、变通性、独创性三个特征,其中的流畅性,就是在一般性的思维定势上产生的,熟能生巧,“熟”是前提,是必经阶段.学生在建构自己的知识技能体系时,总是在教师的引导帮助下,对自己的实践活动进行思考,得到规律,形成概念和技能,这项概念和技能的形成就不够牢固。这一过程可以看作思维定势的“立”。立了以后,在引导学生多角度、全方位地重新考虑类似问题,得出不同的思考方法,形成更丰富的技能,这就是对原先思维定势的“破”。从学生的思维上来说,这一“破”,从另一方面更看清了新学习的知识与以前知识的联系,产生了新的思维火花,通过螺旋式上升,使学生对原先掌握的知识升华到理解,达到融会贯通的境界。
  在《无理方程》教学时,某教师设计了以下一组练习:
  案例4解下列关于x的方程:
  (1)■+x=2;(2)■+2=x;(3)■=x-7
  对一般的无理方程的解法来说,其解法定势是“平方法”,这是基础。在教学实践中,学生掌握得比较好。但从培养学生思维能力的角度来看,还要求学生能灵活运用所学知识来解决具体问题。
  从此例的解题过程看,先用常规方法解,使学生先确立基本的思维定势,掌握了一般方法(“平方法”解无理方程)是学生学习解无理方程的一种思维定势的“立”;而后去破这个定势,既将无理方程与以前学的二次根式内容相联系,又促使学生领悟这种运用直觉观察、判断等方法解数学问题也是数学中所必要的,这种在“立”的基础上的“破”显然比“立”更有意义。所以,在解题时,一定要多看题目结构,根据题目的特点来选择较优解法(如换元法就是解无理方程的一种优化解法),使思维得到了升华。
  总之,创新意识不是凭空而来,它扎根于坚实的基础。在教学过程中,认识到学生思维定势的“立”与“破”的联系,就能较好地把握创新与双基(基础知识、基本技能)的关系,根据这个关系,教师在指导学生时,就应讲解得“透”而不“死”,“活”而不“乱”;指导学生学会观察和总结,通过更科学的学习方法,跳出“题海”,这是很有意义的。
  (作者单位:江苏省溧阳市戴埠高级中学 213331)