例谈“函数y=Asin(ωx+φ)图象变换与性质”内容易错点
三角函数具有特殊的函数图象与性质,函数[y=Asin(ωx+φ)]的图象变换主要有振幅变换、周期变换和相位变换。而对于周期变换和相位变换调整先后顺序后的平移量,学生往往不能正确掌握,亦不能根据函数图象确定三角函数的解析式,本文将用实例对这两方面易错点进行剖析。
1函数[y=Asin(ωx+φ)]的图象变换中的易错点分析
例1:要得到函数[y=2sin(2x+π4)]的图象,只需将[y=sinx]的图象经过怎样的变换?
1.1错解
[y=sinx横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变y=sin2x向左平移π4个单位长度y=sin(2x+π4)纵坐标伸长为原来的2倍y=2sin(2x+π4)。]
1.2易错分析
1.2.1一些学生不能理解为什么“由[y=sinx]→[y]=sin[ωx]([ω]>0)”的周期变换是将横坐标变为原来的[1ω]倍,而不是[ω]倍。正如此题中错认为将[y=sinx]的横坐标变为原来的2倍就是[y=sin2x],比较两个函数图象,经过周期变换之后点([π],0),([π],0)变为了点([π2],0),点([2π],0)变为了([π],0),所以是横坐标变为了原来的[12]倍,纵坐标不变。
1.2.2很多学生没有理解相位变换的实质,因此容易出现此题中的错误“[y=sin2x向左平移π4个单位长度y=sin(2x+π4)]”,左右平移是相对于[x]来说的,而不是[ωx],所以应该是向左平移[π8]个单位长度才得到[y=2sin2x+8=sin(2x+π4)],通过五点作图法可以验证。若是先相位变换,即向左平移[π4]个单位长度得到[y=sin(x+π4)],再周期变换,即横坐標变为原来的[12]倍得到[fx=sin(2x+π2)]。
1.3学习建议
周期变换和相位变换顺序不同时,平移量是不同的,但都是对于同一变量[x]而言的。
1.3.1先周期变换后相位变换:[y=sinx]的图象将横坐标变为原来的[1ω]倍即得[y=sinωx],再向左(右)平移[φω]个单位长度得到[y=sin(ωx+φ)]。
1.3.2先相位变换后周期变换:[y=sinx]的图象向左(右)平移[φ]个单位长度得[y=sin(x+φ)],再将横坐标变为原来的[1ω]倍即可得到[y=sin(ωx+φ)]的图象。
2根据图象确定三角函数解析式中的易错点
例2:函数[fx=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)]的部分图象如图所示,求其解析式。
2.1错解1
由图知,A=2,[T=2πω=7π8-π8=π],所以[ω=2],即[fx=2sin2x+φ],又函数[fx]过点[3π8,0],所以[2sin3π4+φ=0],即[3π4+φ=kπ],所以[φ=kπ-3π4k∈Z],所以[φ=-3π4]或[φ=π4],故[fx=2sin2x-3π4]或[fx=2sin2x+π4]。
2.2错解2
再求得A=2,[ω=2]之后,图象可以看作是[fx=2sin2x]向左平移[π8]个单位长度,所以所求解析式为[fx=2sin2x+π8]。
2.3易错分析
多数学生都能正确确定A、T、[ω]的值,但在确定[φ]的值时经常出现问题,没能分清代入的点是“五点”中的哪一个位置点,尤其是“零点”。正如本题中代入的点[3π8,0]是减区间上的零点,所以应该是[3π4+φ=2kπ+π],从而只有[φ=π4]。另外一种利用平移变换时,是对于变量[x]而言的,而不是对于[2x]。
2.4学习建议
对于根据图象求三角函数解析式的问题,通常是根据图象的顶点来确定A的值,由周期来确定[ω]的值。关键是求[φ]的值,一定要分清代入的点对应“五点”中的哪一个位置点,若选择的是零点,则要注意是增区间还是减区间的零点,增区间的零点则有[ωx+φ=2kπ],减区间的零点则有[ωx+φ=2kπ+π]。若已知最高点或最低点,则选择这些非零点代入求解便可以避免多解的情况。
通过以上问题的剖析可以发现,学生之所以出现这些错误的根本原因在于没有理解函数[fx=Asin(ωx+φ)]的图象变换的本质,没有掌握三角函数的基本性质。在教学过程中,教师可以借助几何画板来动态演示三角函数图象的变换过程,让学生可以形象的感受不同的变换顺序所需要的平移量的变化。通过“五点作图法”体会图象不同变换的本质,同时加强概念、性质的教学,让学生理解不管是周期变换还是相位变换都是对于一个变量[x]而言的,进而使学生能够有更清晰的解题思路。
参考文献
[1]田麟.三角函数的特性及应用[J].湖南城市学院学报,2016(1).
[2]普通高中课程标准实验教科书必修4A版[M].北京:人民教育出版社,2004.
作者简介
吴小丽(1994.01—),女,汉族,籍贯:四川成都,学科教学(数学),单位:西华师范大学;邮编:637000。